Konsep kuadratik adalah salah satu fondasi penting dalam matematika, yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan, teknik, ekonomi, hingga kehidupan sehari-hari. Mulai dari lintasan gerak sebuah proyektil hingga desain jembatan melengkung, pemahaman tentang persamaan dan fungsi kuadratik menjadi esensial. Artikel ini akan membawa Anda dalam perjalanan mendalam untuk memahami segala aspek terkait kuadratik, mulai dari definisi dasar, metode penyelesaian, analisis grafik, hingga penerapannya dalam skenario dunia nyata. Mari kita selami kompleksitas dan keindahan dunia kuadratik.
Istilah "kuadratik" berasal dari kata Latin quadratus, yang berarti persegi. Dalam konteks matematika, ini merujuk pada variabel yang dipangkatkan dua. Secara sederhana, ekspresi kuadratik adalah polinomial berderajat dua, yang berarti pangkat tertinggi dari variabel di dalamnya adalah dua.
Sebuah persamaan kuadratik umumnya dinyatakan dalam bentuk:
ax² + bx + c = 0
Di mana:
x adalah variabel yang tidak diketahui.a, b, dan c adalah koefisien, dengan a ≠ 0.a = 0, maka persamaan tersebut tidak lagi menjadi kuadratik, melainkan menjadi persamaan linear (bx + c = 0).a disebut koefisien kuadratik.b disebut koefisien linear.c disebut konstanta atau suku bebas.Contoh persamaan kuadratik meliputi:
x² - 5x + 6 = 0 (di sini a=1, b=-5, c=6)2y² + 3y - 2 = 0 (variabel bisa apa saja, di sini y)-z² + 7 = 0 (di sini a=-1, b=0, c=7)3p² = 0 (di sini a=3, b=0, c=0)Sedangkan fungsi kuadratik adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang grafiknya membentuk parabola. Bentuk umum fungsi kuadratik adalah:
f(x) = ax² + bx + c
Atau sering juga ditulis sebagai y = ax² + bx + c. Perbedaan utama antara persamaan dan fungsi kuadratik terletak pada tujuannya. Persamaan kuadratik bertujuan untuk menemukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan (akar-akar atau solusi), sementara fungsi kuadratik menggambarkan hubungan antara x dan y (output), yang ketika digambarkan akan membentuk grafik.
Konsep persamaan kuadratik bukanlah penemuan modern. Bukti tertulis menunjukkan bahwa bangsa Babilonia kuno sudah dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar lebih dari empat ribu tahun yang lalu. Mereka menggunakan metode yang setara dengan rumus kuadratik kita, meskipun tanpa notasi aljabar modern. Matematikawan India kuno seperti Brahmagupta memberikan rumus umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang melibatkan bilangan negatif.
Matematikawan Muslim Al-Khwarizmi, pada abad ke-9, juga memberikan metode sistematis untuk menyelesaikan persamaan kuadratik melalui metode melengkapkan kuadrat, yang dijelaskan secara geometris dalam bukunya yang berjudul "Al-jabr wa'l muqabala". Karyanya inilah yang memperkenalkan aljabar ke dunia Barat. Kemudian, pada abad ke-16, rumus kuadratik modern dalam bentuk simbolis yang kita kenal sekarang mulai dikembangkan dan disempurnakan di Eropa, membuka jalan bagi perkembangan matematika selanjutnya.
Menemukan solusi atau akar-akar dari persamaan kuadratik berarti mencari nilai-nilai variabel (biasanya x) yang membuat persamaan tersebut benar. Ada beberapa metode utama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, masing-masing dengan kelebihan dan kekurangannya.
Metode faktorisasi melibatkan penulisan ulang persamaan kuadratik dalam bentuk produk dari dua faktor linear. Prinsip dasarnya adalah "jika hasil kali dua bilangan adalah nol, maka salah satu atau kedua bilangan tersebut harus nol."
Misalnya, jika kita memiliki (x - p)(x - q) = 0, maka x - p = 0 atau x - q = 0. Ini menghasilkan solusi x = p atau x = q.
Langkah-langkah Faktorisasi (untuk ax² + bx + c = 0):
ax² + bx + c = 0.a * c, dan jika dijumlahkan hasilnya b. Katakanlah bilangan tersebut adalah m dan n.bx) menjadi mx + nx.x.x² - 5x + 6 = 0Di sini, a=1, b=-5, c=6. Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya 1 * 6 = 6 dan hasil jumlahnya -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
x² - 5x + 6 = 0 x² - 2x - 3x + 6 = 0 (pecah -5x menjadi -2x - 3x) x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 (faktorkan x dari dua suku pertama, -3 dari dua suku terakhir) (x - 2)(x - 3) = 0 (faktorkan (x - 2))
Maka, kita memiliki dua kemungkinan:
x - 2 = 0 → x₁ = 2x - 3 = 0 → x₂ = 3Solusinya adalah x = 2 atau x = 3.
a ≠ 1: 2x² + 7x + 3 = 0Di sini, a=2, b=7, c=3. Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya a * c = 2 * 3 = 6 dan hasil jumlahnya b = 7. Bilangan tersebut adalah 1 dan 6.
2x² + 7x + 3 = 0 2x² + x + 6x + 3 = 0 (pecah 7x menjadi x + 6x) x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0 (faktorkan x dari dua suku pertama, 3 dari dua suku terakhir) (2x + 1)(x + 3) = 0 (faktorkan (2x + 1))
Maka, kita memiliki dua kemungkinan:
2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x₁ = -1/2x + 3 = 0 → x₂ = -3Solusinya adalah x = -1/2 atau x = -3.
Faktorisasi adalah metode yang cepat dan elegan jika faktor-faktornya mudah ditemukan. Namun, tidak semua persamaan kuadratik dapat difaktorkan dengan mudah, terutama jika akar-akarnya bukan bilangan bulat atau rasional.
Metode ini mengubah persamaan kuadratik menjadi bentuk (x + k)² = d, yang kemudian dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan akar kuadrat. Ini adalah teknik yang fundamental dan sering digunakan untuk menurunkan rumus kuadratik.
Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna:
a adalah 1. Jika tidak, bagi seluruh persamaan dengan a.c ke sisi kanan persamaan.(b/2)² ke kedua sisi persamaan. Ini adalah langkah "melengkapkan kuadrat".(x + b/2)².±).x.x² + 6x + 5 = 0a sudah 1.x² + 6x = -5
(b/2)² = (6/2)² = 3² = 9 ke kedua sisi:
x² + 6x + 9 = -5 + 9 x² + 6x + 9 = 4
(x + 3)² = 4
√(x + 3)² = ±√4 x + 3 = ±2
x:
x + 3 = 2 → x₁ = 2 - 3 = -1x + 3 = -2 → x₂ = -2 - 3 = -5Solusinya adalah x = -1 atau x = -5.
a ≠ 1: 2x² - 8x + 6 = 0a = 2:
x² - 4x + 3 = 0
x² - 4x = -3
(b/2)² = (-4/2)² = (-2)² = 4 ke kedua sisi:
x² - 4x + 4 = -3 + 4 x² - 4x + 4 = 1
(x - 2)² = 1
√(x - 2)² = ±√1 x - 2 = ±1
x:
x - 2 = 1 → x₁ = 1 + 2 = 3x - 2 = -1 → x₂ = -1 + 2 = 1Solusinya adalah x = 3 atau x = 1.
Metode melengkapkan kuadrat sempurna selalu berhasil, terlepas dari jenis akar yang dihasilkan. Ini adalah metode yang sangat kuat dan sering digunakan dalam konteks yang lebih lanjut dalam matematika.
Rumus kuadratik adalah metode yang paling universal dan selalu dapat digunakan untuk menemukan solusi persamaan kuadratik, bahkan ketika faktorisasi atau melengkapkan kuadrat sempurna sulit atau tidak mungkin dilakukan secara praktis (misalnya, jika akar-akarnya irasional atau kompleks).
Rumus kuadratik diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna pada bentuk umum ax² + bx + c = 0. Rumusnya adalah:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Langkah-langkah Menggunakan Rumus Kuadratik:
ax² + bx + c = 0.a, b, dan c.a, b, dan c ke dalam rumus kuadratik.x.Kita mulai dari bentuk umum ax² + bx + c = 0.
a (asumsi a ≠ 0):
x² + (b/a)x + (c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(b/2a)² ke kedua sisi untuk melengkapkan kuadrat:
x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² x² + (b/a)x + b²/(4a²) = -c/a + b²/(4a²) x² + (b/a)x + b²/(4a²) = (b² - 4ac) / (4a²)
(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / (4a²)
x + b/2a = ±√[(b² - 4ac) / (4a²)] x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / √(4a²) x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / (2a)
x:
x = -b/2a ± √(b² - 4ac) / (2a) x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Inilah mengapa rumus kuadratik kadang disebut juga Rumus ABC, karena melibatkan koefisien a, b, dan c.
3x² + 5x - 2 = 0Di sini, a=3, b=5, c=-2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a x = [-5 ± √(5² - 4 * 3 * (-2))] / (2 * 3) x = [-5 ± √(25 + 24)] / 6 x = [-5 ± √49] / 6 x = [-5 ± 7] / 6
Dari sini, kita mendapatkan dua solusi:
x₁ = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3x₂ = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2Solusinya adalah x = 1/3 atau x = -2.
x² - 4x + 1 = 0Di sini, a=1, b=-4, c=1.
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a x = [-(-4) ± √((-4)² - 4 * 1 * 1)] / (2 * 1) x = [4 ± √(16 - 4)] / 2 x = [4 ± √12] / 2 x = [4 ± 2√3] / 2 x = 2 ± √3
Solusinya adalah x₁ = 2 + √3 dan x₂ = 2 - √3. Ini adalah akar-akar irasional, yang sulit ditemukan dengan faktorisasi biasa.
Bagian dalam akar kuadrat pada rumus kuadratik, yaitu b² - 4ac, disebut diskriminan, dilambangkan dengan huruf Yunani Delta (Δ) atau D. Nilai diskriminan ini sangat penting karena menentukan sifat dan jumlah akar dari persamaan kuadratik.
D = b² - 4ac
Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan:
x₁ ≠ x₂).x di dua titik yang berbeda.D adalah kuadrat sempurna, akar-akarnya rasional. Jika tidak, akar-akarnya irasional.x tepat di satu titik (titik puncaknya berada di sumbu x).x. Ia akan sepenuhnya berada di atas atau di bawah sumbu x.x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
D = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1Karena
D = 1 > 0, ada dua akar real yang berbeda (yaitu x=2 dan x=3, keduanya rasional karena 1 adalah kuadrat sempurna).
x² + 4x + 4 = 0 (a=1, b=4, c=4)
D = (4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0Karena
D = 0, ada satu akar real (kembar). Jika diselesaikan, (x+2)²=0 → x=-2.
x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5)
D = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16Karena
D = -16 < 0, ada dua akar kompleks yang konjugat. Akar-akarnya adalah x = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i.
Pemahaman tentang diskriminan sangat membantu untuk memprediksi jenis solusi yang akan didapatkan tanpa harus menyelesaikan seluruh persamaan.
Selain menemukan nilai akar-akar, kita juga bisa mengetahui hubungan antara akar-akar (x₁ dan x₂) dengan koefisien a, b, c tanpa perlu menghitung akar-akarnya secara eksplisit. Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta.
Untuk persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ * x₂ = c/a
2x² - 8x + 6 = 0Di sini, a=2, b=-8, c=6.
x₁ + x₂ = -(-8)/2 = 8/2 = 4x₁ * x₂ = 6/2 = 3Dari contoh sebelumnya dengan persamaan yang sama, kita menemukan akar-akarnya adalah x₁ = 3 dan x₂ = 1. Mari kita cek:
3 + 1 = 4 (Sesuai)3 * 1 = 3 (Sesuai)Rumus Vieta sangat berguna dalam berbagai situasi, misalnya untuk memeriksa kebenaran akar-akar yang telah dihitung, atau untuk membentuk persamaan kuadratik baru jika akar-akarnya diketahui.
Kadang kita dihadapkan pada situasi di mana kita perlu membentuk persamaan kuadratik baru berdasarkan akar-akar yang telah diketahui atau akar-akar yang memiliki hubungan tertentu dengan akar persamaan kuadratik lainnya.
x₁ dan x₂) Diketahui:Ada dua pendekatan:
(x - x₁)(x - x₂) = 0Kemudian ekspansikan untuk mendapatkan bentuk
ax² + bx + c = 0.
S = x₁ + x₂) dan hasil kali akar (P = x₁ * x₂).
Persamaan kuadratik baru adalah:
x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0 x² - Sx + P = 0Ini adalah bentuk di mana
a=1. Jika diperlukan koefisien a yang berbeda, kalikan seluruh persamaan dengan a.
Bentuklah persamaan kuadratik yang akar-akarnya adalah -3 dan 5.
Menggunakan Faktorisasi Balik:
(x - (-3))(x - 5) = 0 (x + 3)(x - 5) = 0 x(x - 5) + 3(x - 5) = 0 x² - 5x + 3x - 15 = 0 x² - 2x - 15 = 0
Menggunakan Rumus Vieta:
x₁ = -3, x₂ = 5 S = x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2 P = x₁ * x₂ = (-3) * 5 = -15
Persamaan baru:
x² - Sx + P = 0 x² - (2)x + (-15) = 0 x² - 2x - 15 = 0
Kedua metode menghasilkan persamaan yang sama.
Seringkali, akar-akar persamaan baru memiliki hubungan tertentu dengan akar-akar persamaan kuadratik yang sudah ada.
Misalkan x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari 2x² - 6x + 3 = 0. Bentuklah persamaan kuadratik baru yang akar-akarnya adalah x₁ + 2 dan x₂ + 2.
Dari persamaan awal 2x² - 6x + 3 = 0, kita memiliki a=2, b=-6, c=3.
x₁ + x₂ = -b/a = -(-6)/2 = 3 x₁ * x₂ = c/a = 3/2
Misalkan akar-akar baru adalah α = x₁ + 2 dan β = x₂ + 2.
Jumlah Akar Baru (S'):
S' = α + β = (x₁ + 2) + (x₂ + 2) S' = x₁ + x₂ + 4 S' = 3 + 4 = 7
Hasil Kali Akar Baru (P'):
P' = α * β = (x₁ + 2)(x₂ + 2) P' = x₁x₂ + 2x₁ + 2x₂ + 4 P' = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 P' = 3/2 + 2(3) + 4 P' = 3/2 + 6 + 4 P' = 3/2 + 10 P' = 3/2 + 20/2 = 23/2
Persamaan kuadratik baru adalah x² - S'x + P' = 0:
x² - 7x + 23/2 = 0
Untuk menghilangkan pecahan, kita bisa kalikan seluruh persamaan dengan 2:
2x² - 14x + 23 = 0
Metode ini memungkinkan kita memanipulasi akar-akar tanpa perlu mencari nilai eksak dari x₁ dan x₂, yang sangat efisien.
Fungsi kuadratik, f(x) = ax² + bx + c, menggambarkan sebuah kurva yang dikenal sebagai parabola. Bentuk parabola bisa membuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada koefisien a.
Gambar: Ilustrasi Grafik Fungsi Kuadratik (Parabola) menunjukkan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu koordinat.
Setiap parabola memiliki beberapa fitur kunci yang dapat diidentifikasi dari koefisien a, b, c dari fungsi kuadratiknya.
a > 0 (positif), parabola membuka ke atas (memiliki titik minimum/puncak di bagian bawah).a < 0 (negatif), parabola membuka ke bawah (memiliki titik maksimum/puncak di bagian atas).Nilai absolut dari a juga menentukan "lebar" parabola. Semakin besar |a|, semakin sempit parabolanya; semakin kecil |a| (mendekati 0), semakin lebar parabolanya.
Titik puncak adalah titik tertinggi (jika parabola membuka ke bawah) atau titik terendah (jika parabola membuka ke atas) pada parabola. Koordinat titik puncak (xₚ, yₚ) dapat ditemukan dengan rumus:
xₚ = -b / 2a yₚ = f(xₚ)
Atau, yₚ juga bisa ditemukan dengan rumus yₚ = -D / 4a, di mana D adalah diskriminan b² - 4ac.
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik puncak, membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan garis sumbu simetri adalah:
x = -b / 2a
Perhatikan bahwa ini adalah nilai x dari titik puncak.
Parabola selalu memotong sumbu y tepat di satu titik. Ini terjadi ketika x = 0. Dengan mensubstitusikan x = 0 ke dalam f(x) = ax² + bx + c, kita mendapatkan:
f(0) = a(0)² + b(0) + c f(0) = c
Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, c).
Parabola memotong sumbu x ketika y = 0, yaitu ketika ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x ini adalah akar-akar persamaan kuadratik. Seperti yang dijelaskan oleh diskriminan:
D > 0, ada dua titik potong sumbu x.D = 0, ada satu titik potong sumbu x (parabola menyinggung sumbu x).D < 0, tidak ada titik potong sumbu x (parabola tidak menyentuh sumbu x).f(x) = x² - 4x + 3Di sini, a=1, b=-4, c=3.
a=1 > 0, parabola membuka ke atas.(0, c) = (0, 3).x = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2. Jadi, x = 2.xₚ = 2 yₚ = f(2) = (2)² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1Titik puncaknya adalah
(2, -1).
x² - 4x + 3 = 0.
Faktorisasi: (x - 1)(x - 3) = 0.
Maka, x₁ = 1 dan x₂ = 3.
Titik potong sumbu x adalah (1, 0) dan (3, 0).
Dengan informasi ini, kita dapat dengan mudah membuat sketsa grafik parabola.
Pertidaksamaan kuadratik melibatkan ekspresi kuadratik yang dibandingkan dengan nol menggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥). Bentuk umumnya adalah ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, atau ax² + bx + c ≤ 0.
Penyelesaian pertidaksamaan kuadratik berarti mencari rentang nilai x yang memenuhi ketidaksamaan tersebut. Ini seringkali melibatkan analisis grafik fungsi kuadratik atau pengujian interval.
Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadratik:
ax² + bx + c > 0.ax² + bx + c = 0). Akar-akar ini disebut "titik kritis".x dari setiap interval ke dalam pertidaksamaan asli. Tentukan apakah interval tersebut memenuhi pertidaksamaan (positif atau negatif).x² - x - 6 > 0x² - x - 6 > 0.x² - x - 6 = 0.
Faktorisasi: (x - 3)(x + 2) = 0.
Akar-akar (titik kritis) adalah x = 3 dan x = -2.
-2 dan 3 pada garis bilangan. Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: x < -2, -2 < x < 3, dan x > 3.x < -2: Ambil x = -3.
(-3)² - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6.
Karena 6 > 0, interval ini memenuhi.
-2 < x < 3: Ambil x = 0.
(0)² - (0) - 6 = -6.
Karena -6 tidak lebih besar dari 0, interval ini tidak memenuhi.
x > 3: Ambil x = 4.
(4)² - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6.
Karena 6 > 0, interval ini memenuhi.
x < -2 atau x > 3.Atau, dapat diinterpretasikan secara grafis: Parabola y = x² - x - 6 membuka ke atas. Titik potong sumbu x adalah -2 dan 3. Pertidaksamaan > 0 mencari di mana grafik berada di atas sumbu x, yaitu di luar akar-akar. Jika pertidaksamaan adalah x² - x - 6 ≤ 0, maka intervalnya adalah -2 ≤ x ≤ 3.
Konsep kuadratik tidak hanya terbatas pada buku pelajaran matematika, tetapi juga merupakan alat yang sangat ampuh untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah di dunia nyata.
Salah satu aplikasi paling klasik dari fungsi kuadratik adalah dalam fisika, khususnya untuk menggambarkan lintasan gerak sebuah objek yang dilempar (proyektil) di bawah pengaruh gravitasi (mengabaikan hambatan udara). Lintasan ini selalu berbentuk parabola.
Persamaan posisi vertikal suatu proyektil seringkali diberikan oleh:
h(t) = -½gt² + v₀t + h₀
Di mana:
h(t) adalah ketinggian objek pada waktu t.g adalah percepatan gravitasi (sekitar 9.8 m/s² di Bumi).v₀ adalah kecepatan awal vertikal.h₀ adalah ketinggian awal.Ini adalah fungsi kuadratik terhadap waktu t, dengan koefisien a = -½g (negatif, sehingga parabola membuka ke bawah seperti lintasan bola), b = v₀, dan c = h₀.
Sebuah bola dilempar ke atas dari ketinggian 10 meter dengan kecepatan awal 20 m/s. Ketinggian bola (dalam meter) pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh h(t) = -5t² + 20t + 10 (dengan g ≈ 10 m/s²).
tₚ = -b / 2a = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2 detikBola mencapai ketinggian maksimum setelah 2 detik.
h(tₚ).
h(2) = -5(2)² + 20(2) + 10 = -5(4) + 40 + 10 = -20 + 40 + 10 = 30 meterKetinggian maksimum bola adalah 30 meter.
h(t) = 0.
-5t² + 20t + 10 = 0Bagi dengan -5:
t² - 4t - 2 = 0Gunakan rumus kuadratik:
t = [-(-4) ± √((-4)² - 4 * 1 * (-2))] / (2 * 1) t = [4 ± √(16 + 8)] / 2 t = [4 ± √24] / 2 t = [4 ± 2√6] / 2 t = 2 ± √6Karena waktu tidak bisa negatif, kita ambil
t = 2 + √6 ≈ 2 + 2.45 = 4.45 detik. Bola menyentuh tanah sekitar 4.45 detik setelah dilempar.
Dalam ekonomi, fungsi kuadratik sering digunakan untuk memodelkan fungsi biaya, pendapatan, dan keuntungan. Seringkali, ada titik optimum (maksimum atau minimum) yang ingin dicari, yang bertepatan dengan titik puncak parabola.
Misalnya, fungsi pendapatan R(x) dan fungsi biaya C(x) seringkali berbentuk polinomial, dan fungsi keuntungan P(x) = R(x) - C(x) bisa menjadi fungsi kuadratik.
Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang. Fungsi pendapatan total (dalam juta Rupiah) diberikan oleh R(x) = 100x - 0.5x² dan fungsi biaya total adalah C(x) = 10x + 200. Tentukan jumlah unit yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum.
Fungsi keuntungan P(x) adalah R(x) - C(x):
P(x) = (100x - 0.5x²) - (10x + 200) P(x) = 100x - 0.5x² - 10x - 200 P(x) = -0.5x² + 90x - 200
Ini adalah fungsi kuadratik dengan a = -0.5, b = 90, c = -200. Karena a < 0, parabola membuka ke bawah, yang berarti ada titik maksimum (keuntungan maksimum). Kita cari x pada titik puncak.
xₚ = -b / 2a = -90 / (2 * -0.5) = -90 / -1 = 90
Jadi, perusahaan harus memproduksi 90 unit agar keuntungan maksimum. Keuntungan maksimumnya adalah:
P(90) = -0.5(90)² + 90(90) - 200 P(90) = -0.5(8100) + 8100 - 200 P(90) = -4050 + 8100 - 200 P(90) = 3850
Keuntungan maksimum adalah 3850 juta Rupiah.
Banyak struktur arsitektur dan teknik sipil memanfaatkan bentuk parabola karena sifat kekuatan dan estetika. Jembatan gantung dan jembatan lengkung seringkali dirancang dengan kabel atau lengkungan berbentuk parabola karena distribusi beban yang efisien.
Antena parabola, reflektor pada lampu senter, dan oven surya juga menggunakan sifat fokus parabola (semua sinar paralel yang datang ke parabola akan dipantulkan ke satu titik fokus, atau sebaliknya dari fokus akan dipantulkan sejajar).
Lensa dan cermin yang memiliki penampang parabola digunakan untuk mengumpulkan cahaya atau sinyal radio ke satu titik fokus, seperti pada teleskop radio atau antena satelit. Bentuk kuadratik memastikan bahwa gelombang yang datang secara paralel akan bertemu di titik fokus yang sama, memaksimalkan efisiensi.
Terkadang, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan yang salah satunya (atau keduanya) adalah persamaan kuadratik. Umumnya, kita akan memiliki satu persamaan linear dan satu persamaan kuadratik.
Selesaikan sistem persamaan berikut:
1) y = x + 1 2) y = x² - 3x + 4
Kita bisa menggunakan metode substitusi. Karena kedua persamaan disamakan dengan y, kita bisa menyamakan kedua ekspresi untuk y:
x + 1 = x² - 3x + 4
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadratik standar:
0 = x² - 3x - x + 4 - 1 0 = x² - 4x + 3
Selesaikan persamaan kuadratik ini (dengan faktorisasi):
(x - 1)(x - 3) = 0
Akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 3.
Sekarang, substitusikan nilai-nilai x ini kembali ke persamaan linear (y = x + 1) untuk menemukan nilai y yang sesuai:
x = 1: y = 1 + 1 = 2. Titik potong pertama adalah (1, 2).x = 3: y = 3 + 1 = 4. Titik potong kedua adalah (3, 4).Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah titik-titik (1, 2) dan (3, 4). Secara grafis, ini adalah titik di mana garis lurus memotong parabola.
Meskipun kalkulus adalah cabang matematika yang lebih lanjut, ada hubungan erat antara fungsi kuadratik dan konsep dasar kalkulus, terutama dalam menemukan titik puncak (maksimum atau minimum).
Dalam kalkulus, turunan pertama (f'(x)) suatu fungsi digunakan untuk menemukan kemiringan garis singgung pada setiap titik pada kurva. Titik puncak suatu parabola terjadi di mana kemiringan garis singgung adalah nol (garis singgung horizontal).
Untuk fungsi kuadratik f(x) = ax² + bx + c, turunan pertamanya adalah:
f'(x) = 2ax + b
Untuk menemukan titik puncak, kita setel f'(x) = 0:
2ax + b = 0 2ax = -b x = -b / 2a
Ini adalah rumus yang sama untuk koordinat x dari titik puncak yang kita temukan sebelumnya! Ini menunjukkan bagaimana kalkulus memberikan cara yang lebih umum dan powerful untuk menemukan titik ekstrem (maksimum atau minimum) untuk berbagai jenis fungsi, termasuk kuadratik.
Selesaikan persamaan kuadratik x² - 10x + 21 = 0 menggunakan:
Persamaan: x² - 10x + 21 = 0. Di sini a=1, b=-10, c=21.
1. Faktorisasi:
Cari dua bilangan yang hasil kalinya 21 dan jumlahnya -10. Bilangan tersebut adalah -3 dan -7.
(x - 3)(x - 7) = 0 x - 3 = 0 atau x - 7 = 0 x₁ = 3 x₂ = 7
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna:
x² - 10x + 21 = 0 x² - 10x = -21 x² - 10x + (-10/2)² = -21 + (-10/2)² x² - 10x + 25 = -21 + 25 (x - 5)² = 4 x - 5 = ±√4 x - 5 = ±2
x - 5 = 2 → x₁ = 7x - 5 = -2 → x₂ = 33. Rumus ABC:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a x = [-(-10) ± √((-10)² - 4 * 1 * 21)] / (2 * 1) x = [10 ± √(100 - 84)] / 2 x = [10 ± √16] / 2 x = [10 ± 4] / 2
x₁ = (10 + 4) / 2 = 14 / 2 = 7x₂ = (10 - 4) / 2 = 6 / 2 = 3Semua metode memberikan solusi yang sama: x = 3 dan x = 7.
Tanpa menyelesaikan persamaan, tentukan jenis akar dari 3x² - 2x + 5 = 0.
Persamaan: 3x² - 2x + 5 = 0. Di sini a=3, b=-2, c=5.
Hitung diskriminan D = b² - 4ac:
D = (-2)² - 4 * 3 * 5 D = 4 - 60 D = -56
Karena D = -56 < 0 (negatif), persamaan kuadratik ini memiliki dua akar kompleks yang konjugat. Ini berarti grafiknya tidak akan memotong sumbu x.
Jika p dan q adalah akar-akar dari persamaan x² + 5x - 7 = 0, bentuklah persamaan kuadratik baru yang akar-akarnya adalah 2p dan 2q.
Dari persamaan awal x² + 5x - 7 = 0, kita punya a=1, b=5, c=-7.
p + q = -b/a = -5/1 = -5 p * q = c/a = -7/1 = -7
Akar-akar baru adalah α = 2p dan β = 2q.
Jumlah akar baru (S'):
S' = α + β = 2p + 2q = 2(p + q) S' = 2(-5) = -10
Hasil kali akar baru (P'):
P' = α * β = (2p)(2q) = 4pq P' = 4(-7) = -28
Persamaan kuadratik baru adalah x² - S'x + P' = 0:
x² - (-10)x + (-28) = 0 x² + 10x - 28 = 0
Tentukan koordinat titik puncak dan persamaan sumbu simetri dari fungsi f(x) = -2x² + 8x - 5. Tentukan juga apakah puncak tersebut maksimum atau minimum.
Fungsi: f(x) = -2x² + 8x - 5. Di sini a=-2, b=8, c=-5.
Karena a = -2 < 0, parabola membuka ke bawah, sehingga titik puncaknya adalah titik maksimum.
Koordinat x dari titik puncak (sumbu simetri):
xₚ = -b / 2a = -8 / (2 * -2) = -8 / -4 = 2
Jadi, persamaan sumbu simetri adalah x = 2.
Koordinat y dari titik puncak:
yₚ = f(xₚ) = f(2) = -2(2)² + 8(2) - 5 yₚ = -2(4) + 16 - 5 yₚ = -8 + 16 - 5 yₚ = 3
Koordinat titik puncak adalah (2, 3). Ini adalah titik maksimum fungsi.
Selesaikan pertidaksamaan 2x² + 5x - 3 ≤ 0.
Pertidaksamaan: 2x² + 5x - 3 ≤ 0.
1. Cari akar-akar dari 2x² + 5x - 3 = 0.
Kita bisa gunakan faktorisasi. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 2 * -3 = -6 dan jumlahnya 5. Bilangan tersebut adalah 6 dan -1.
2x² + 6x - x - 3 = 0 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0 (2x - 1)(x + 3) = 0
Akar-akar (titik kritis) adalah:
2x - 1 = 0 → x = 1/2x + 3 = 0 → x = -32. Plot titik kritis pada garis bilangan: -3 dan 1/2.
Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: x < -3, -3 < x < 1/2, dan x > 1/2.
3. Uji setiap interval:
Fungsi f(x) = 2x² + 5x - 3 memiliki a=2 > 0, jadi parabola membuka ke atas. Ini berarti nilai fungsi negatif di antara akar-akar dan positif di luar akar-akar.
x < -3: (misal x = -4)
2(-4)² + 5(-4) - 3 = 2(16) - 20 - 3 = 32 - 20 - 3 = 9. (Positif, tidak memenuhi ≤ 0)
-3 < x < 1/2: (misal x = 0)
2(0)² + 5(0) - 3 = -3. (Negatif, memenuhi ≤ 0)
x > 1/2: (misal x = 1)
2(1)² + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4. (Positif, tidak memenuhi ≤ 0)
4. Himpunan penyelesaian:
Karena kita mencari f(x) ≤ 0, interval yang memenuhi adalah -3 ≤ x ≤ 1/2 (termasuk titik kritis karena ada tanda sama dengan).
Konsep kuadratik, yang mencakup persamaan dan fungsi kuadratik, adalah pilar penting dalam matematika yang aplikasinya melampaui batas-batas kelas. Dari memahami bentuk dasarnya ax² + bx + c = 0, menguasai berbagai metode penyelesaian seperti faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC, hingga menganalisis grafiknya yang membentuk parabola dengan komponen-komponen kunci seperti puncak dan sumbu simetri, setiap aspek kuadratik menawarkan wawasan yang berharga.
Kemampuan untuk menafsirkan diskriminan, memanfaatkan rumus Vieta, menyelesaikan pertidaksamaan kuadratik, dan mengidentifikasi aplikasi praktis dalam fisika, ekonomi, serta teknik, menunjukkan betapa serbagunanya alat matematika ini. Dengan pemahaman yang kokoh tentang kuadratik, pintu menuju pemecahan masalah yang lebih kompleks di berbagai disiplin ilmu akan terbuka lebar, membuktikan relevansinya yang tak lekang oleh waktu dalam perjalanan ilmu pengetahuan.