Dalam dunia matematika abstrak, khususnya pada bidang aljabar modern, konsep koset merupakan salah satu pilar fundamental yang memungkinkan kita untuk memahami struktur internal dari grup-grup yang kompleks. Koset tidak hanya berfungsi sebagai alat teoritis yang elegan, tetapi juga membuka jalan menuju pemahaman yang lebih dalam tentang bagaimana elemen-elemen dalam suatu grup dapat dikelompokkan berdasarkan relasi tertentu yang terkait dengan subgrupnya. Ide dasar di balik koset adalah untuk "menggeser" atau "mentranslasikan" seluruh subgrup H dalam suatu grup G menggunakan elemen-elemen dari G itu sendiri. Proses ini menghasilkan partisi dari grup G, yang pada gilirannya memiliki implikasi mendalam bagi berbagai teorema penting, termasuk Teorema Lagrange yang terkenal.
Pembahasan tentang koset sangat krusial karena ia menjadi landasan bagi konstruksi grup faktor (quotient groups) yang esensial. Grup faktor memungkinkan kita untuk membangun grup baru dari grup yang sudah ada dengan 'melipat' atau 'mengidentifikasi' elemen-elemen tertentu. Pemahaman tentang koset juga sangat relevan dalam berbagai aplikasi di luar matematika murni, seperti dalam teori pengkodean (coding theory), kristalografi, kimia kuantum, dan fisika partikel, di mana simetri dan struktur grup memainkan peran sentral.
Artikel ini akan mengupas tuntas seluk-beluk koset, dimulai dari definisi formal, berbagai contoh konkret, sifat-sifat fundamentalnya, hingga aplikasi dan kaitannya dengan konsep-konsep aljabar modern lainnya seperti subgrup normal dan grup faktor. Kami akan menyajikan pembahasan ini secara komprehensif dan mudah dipahami, bertujuan untuk memberikan fondasi yang kuat bagi siapa pun yang ingin mendalami teori grup.
Sebelum menyelami definisi koset, penting untuk meninjau kembali konsep dasar teori grup dan subgrup. Sebuah grup adalah himpunan G bersama dengan operasi biner * (misalnya, penjumlahan atau perkalian) yang memenuhi empat aksioma berikut:
Contoh grup yang paling umum adalah himpunan bilangan bulat (Z) dengan operasi penjumlahan, himpunan bilangan rasional non-nol (Q*) dengan operasi perkalian, atau grup matriks inversibel.
Sebuah subgrup H dari grup G adalah subset dari G yang juga membentuk grup di bawah operasi yang sama dengan G. Untuk H menjadi subgrup G, H harus memenuhi ketiga aksioma grup (tertutup, identitas, invers) itu sendiri. Namun, ada kriteria yang lebih sederhana: H adalah subgrup G jika dan hanya jika H tidak kosong, dan untuk setiap a, b di H, berlaku a * b⁻¹ di H. Kriteria ini memastikan keberadaan elemen identitas (dengan mengambil a=b) dan invers (dengan mengambil a=e).
Memahami interaksi antara suatu grup dan subgrupnya adalah langkah awal untuk memahami koset. Koset adalah cara kita "melihat" bagaimana subgrup H "berinteraksi" dengan elemen-elemen lain di G di luar H itu sendiri.
Dengan fondasi teori grup dan subgrup, kini kita dapat merumuskan definisi formal koset. Koset adalah himpunan yang dibentuk dengan "menggeser" setiap elemen dalam subgrup H menggunakan satu elemen tertentu dari grup G. Ada dua jenis koset utama: koset kiri dan koset kanan, yang perbedaannya bergantung pada sisi mana elemen penggeser (translasikan) diletakkan.
Misalkan G adalah sebuah grup dan H adalah sebuah subgrup dari G. Untuk setiap elemen g ∈ G, koset kiri dari H yang terkait dengan g didefinisikan sebagai himpunan:
gH = {gh | h ∈ H}
Di sini, gh menunjukkan hasil operasi grup antara g dan h. Dengan kata lain, koset kiri gH adalah himpunan semua elemen yang diperoleh dengan mengoperasikan g dari kiri ke setiap elemen h yang ada di subgrup H.
Serupa dengan koset kiri, koset kanan dari H yang terkait dengan g ∈ G didefinisikan sebagai himpunan:
Hg = {hg | h ∈ H}
Dalam kasus ini, koset kanan Hg adalah himpunan semua elemen yang diperoleh dengan mengoperasikan setiap elemen h dari subgrup H ke elemen g dari kanan.
Penting untuk dicatat bahwa dalam grup abelian (grup di mana operasi biner bersifat komutatif, yaitu ab = ba untuk setiap a, b ∈ G), koset kiri dan koset kanan akan selalu sama. Artinya, gH = Hg untuk setiap g ∈ G. Namun, dalam grup non-abelian, koset kiri dan koset kanan bisa jadi berbeda, dan perbedaan ini memiliki konsekuensi penting yang akan kita bahas nanti.
Setiap elemen g dari G selalu terkandung dalam setidaknya satu koset dari H. Secara spesifik, g adalah elemen dari gH (karena g = ge, dan e ∈ H karena H adalah subgrup) dan juga elemen dari Hg (karena g = eg). Ini menunjukkan bahwa koset-koset ini "meliput" seluruh grup G.
Untuk memperjelas definisi, mari kita telaah beberapa contoh koset dari berbagai jenis grup. Contoh-contoh ini akan membantu mengilustrasikan bagaimana koset terbentuk dan bagaimana mereka dapat berbeda atau sama.
Misalkan G = (Z, +) adalah grup bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan. Mari kita pilih subgrup H = 3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, yaitu himpunan semua kelipatan 3. Karena Z adalah grup abelian, koset kiri dan koset kanan akan identik.
Kita akan mencari koset-koset yang berbeda:
0 + H = {0 + h | h ∈ 3Z} = {... , -6, -3, 0, 3, 6, ...} = 3Z = H1 + H = {1 + h | h ∈ 3Z} = {..., 1+(-6), 1+(-3), 1+0, 1+3, 1+6, ...}
= {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}2 + H = {2 + h | h ∈ 3Z} = {..., 2+(-6), 2+(-3), 2+0, 2+3, 2+6, ...}
= {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}3 + H = {3 + h | h ∈ 3Z} = {..., 3+(-6), 3+(-3), 3+0, 3+3, 3+6, ...}
= {..., -3, 0, 3, 6, 9, ...} = 3Z = H3 + H sama dengan H itu sendiri. Ini terjadi karena 3 adalah elemen dari H. Secara umum, gH = H jika dan hanya jika g ∈ H.
Dalam kasus ini, kita melihat bahwa hanya ada tiga koset yang berbeda: H (yang berisi bilangan bulat kongruen 0 mod 3), 1+H (yang berisi bilangan bulat kongruen 1 mod 3), dan 2+H (yang berisi bilangan bulat kongruen 2 mod 3). Ketiga koset ini membentuk partisi dari Z, artinya mereka disjoin satu sama lain dan gabungan mereka mencakup seluruh Z. Ini adalah contoh klasik dari grup faktor Z/3Z, yang isomorfik dengan Z_3.
Grup dihidral D₄ adalah grup simetri dari persegi. Elemen-elemennya adalah:
D₄ = {e, r, r², r³, s, sr, sr², sr³}, di mana e adalah identitas, r adalah rotasi 90 derajat searah jarum jam, dan s adalah refleksi. Operasi grup adalah komposisi transformasi. Perhatikan bahwa r⁴ = e, s² = e, dan rs = sr⁻¹ = sr³, yang menunjukkan bahwa D₄ adalah non-abelian.
Mari kita ambil subgrup H = {e, s} (rotasi identitas dan refleksi tunggal).
Kita akan mencari koset-koset kiri dan kanan dari H.
eH = {e⋅e, e⋅s} = {e, s} = HrH = {r⋅e, r⋅s} = {r, rs}r²H = {r²⋅e, r²⋅s} = {r², r²s}r³H = {r³⋅e, r³⋅s} = {r³, r³s}sH = {s⋅e, s⋅s} = {s, e} = H (Karena s ∈ H)srH = {sr⋅e, sr⋅s} = {sr, srs}. Menggunakan sr = r³s, maka srs = r³ss = r³e = r³. Jadi, srH = {sr, r³}.sr²H = {sr²⋅e, sr²⋅s} = {sr², sr²s}. sr²s = (sr)rs = r³srs = r³(sr)s = r³r³ss = r⁶ = r². Jadi, sr²H = {sr², r²}.sr³H = {sr³⋅e, sr³⋅s} = {sr³, sr³s}. sr³s = (sr²)rs = r²sr²s = r²r² = r⁴ = e. Jadi, sr³H = {sr³, e}.
Koset kiri yang berbeda adalah:
H = {e, s}
rH = {r, rs}
r²H = {r², r²s}
r³H = {r³, r³s}
Ini adalah 4 koset kiri yang berbeda, masing-masing berukuran 2. Gabungan keempat koset ini membentuk seluruh D₄ dan mereka saling disjoin.
He = {e⋅e, s⋅e} = {e, s} = HHr = {e⋅r, s⋅r} = {r, sr}Hr² = {e⋅r², s⋅r²} = {r², sr²}Hr³ = {e⋅r³, s⋅r³} = {r³, sr³}Hs = {e⋅s, s⋅s} = {s, e} = H (Karena s ∈ H)Hsr = {e⋅sr, s⋅sr} = {sr, ssr} = {sr, r} (Karena ssr = er = r). Ini sama dengan Hr.Hsr² = {e⋅sr², s⋅sr²} = {sr², ssr²} = {sr², r²} (Karena ssr² = er² = r²). Ini sama dengan Hr².Hsr³ = {e⋅sr³, s⋅sr³} = {sr³, ssr³} = {sr³, r³} (Karena ssr³ = er³ = r³). Ini sama dengan Hr³.
Koset kanan yang berbeda adalah:
H = {e, s}
Hr = {r, sr}
Hr² = {r², sr²}
Hr³ = {r³, sr³}
Dalam contoh ini, kita perhatikan bahwa rH = {r, rs} dan Hr = {r, sr}. Karena rs ≠ sr (ingat rs = sr³ dan sr³ ≠ sr di D₄), maka rH ≠ Hr. Ini mengkonfirmasi bahwa H = {e, s} bukanlah subgrup normal dari D₄. Meskipun koset kiri dan kanan berbeda isinya, jumlah koset kiri yang berbeda sama dengan jumlah koset kanan yang berbeda (yaitu 4). Ini adalah sifat penting dari koset.
Grup simetri S₃ adalah grup dari semua permutasi dari tiga elemen, misalnya {1, 2, 3}. Elemen-elemennya adalah:
S₃ = {e, (12), (13), (23), (123), (132)}, di mana e adalah identitas. Operasi grup adalah komposisi permutasi. S₃ adalah grup non-abelian karena, misalnya, (12)(13) = (132) tetapi (13)(12) = (123).
Mari kita ambil subgrup H = {e, (12)}.
eH = {e⋅e, e⋅(12)} = {e, (12)} = H(12)H = {(12)⋅e, (12)⋅(12)} = {(12), e} = H(13)H = {(13)⋅e, (13)⋅(12)} = {(13), (132)}(23)H = {(23)⋅e, (23)⋅(12)} = {(23), (123)}(123)H = {(123)⋅e, (123)⋅(12)} = {(123), (23)}. Ini sama dengan (23)H.(132)H = {(132)⋅e, (132)⋅(12)} = {(132), (13)}. Ini sama dengan (13)H.
Koset kiri yang berbeda adalah:
H = {e, (12)}
(13)H = {(13), (132)}
(23)H = {(23), (123)}
He = {e⋅e, (12)⋅e} = {e, (12)} = HH(12) = {e⋅(12), (12)⋅(12)} = {(12), e} = HH(13) = {e⋅(13), (12)⋅(13)} = {(13), (123)}H(23) = {e⋅(23), (12)⋅(23)} = {(23), (132)}H(123) = {e⋅(123), (12)⋅(123)} = {(123), (23)}. Ini sama dengan H(23).H(132) = {e⋅(132), (12)⋅(132)} = {(132), (13)}. Ini sama dengan H(13).
Koset kanan yang berbeda adalah:
H = {e, (12)}
H(13) = {(13), (123)}
H(23) = {(23), (132)}
Dalam contoh ini, kita lihat bahwa (13)H = {(13), (132)} dan H(13) = {(13), (123)}. Jelas bahwa (13)H ≠ H(13), sehingga H = {e, (12)} juga bukan subgrup normal dari S₃. Sekali lagi, jumlah koset kiri yang berbeda (3) sama dengan jumlah koset kanan yang berbeda (3).
Dari contoh-contoh ini, kita dapat menyimpulkan bahwa koset adalah himpunan elemen yang dihasilkan dari "penggeseran" subgrup H oleh elemen grup G. Koset-koset ini memiliki struktur yang sangat teratur dan memainkan peran kunci dalam mempartisi grup menjadi himpunan-himpunan yang saling lepas.
Koset memiliki beberapa sifat fundamental yang menjadikannya alat yang sangat kuat dalam teori grup. Memahami sifat-sifat ini akan mengarah pada pemahaman Teorema Lagrange dan konstruksi grup faktor.
Untuk setiap g ∈ G, koset gH (atau Hg) selalu tak kosong. Ini karena subgrup H selalu mengandung elemen identitas e. Jadi, ge = g adalah elemen dari gH, dan eg = g adalah elemen dari Hg. Ini menjamin bahwa setiap koset selalu memiliki setidaknya satu elemen.
Konsep koset dapat didekati dari sudut pandang relasi ekuivalensi. Untuk setiap subgrup H dari G, kita dapat mendefinisikan relasi ~_L (untuk koset kiri) pada G sebagai berikut:
a ~_L b jika dan hanya jika a⁻¹b ∈ Ha ∈ G, a⁻¹a = e. Karena e ∈ H (H adalah subgrup), maka a ~_L a.a ~_L b, maka a⁻¹b ∈ H. Karena H adalah subgrup, jika a⁻¹b ∈ H, maka inversnya (a⁻¹b)⁻¹ = b⁻¹(a⁻¹)⁻¹ = b⁻¹a juga di H. Jadi, b ~_L a.a ~_L b dan b ~_L c, maka a⁻¹b ∈ H dan b⁻¹c ∈ H. Karena H adalah subgrup, produk dari dua elemen di H juga di H. Jadi, (a⁻¹b)(b⁻¹c) = a⁻¹(bb⁻¹)c = a⁻¹ec = a⁻¹c ∈ H. Maka, a ~_L c.~_L adalah relasi ekuivalensi, ia mempartisi G menjadi kelas-kelas ekuivalensi. Ternyata, kelas-kelas ekuivalensi ini tidak lain adalah koset-koset kiri dari H.
Secara spesifik, kelas ekuivalensi yang mengandung g ∈ G adalah {x ∈ G | g ~_L x} = {x ∈ G | g⁻¹x ∈ H}. Jika g⁻¹x = h untuk beberapa h ∈ H, maka x = gh. Jadi, kelas ekuivalensi dari g adalah gH.
Demikian pula, kita dapat mendefinisikan relasi ~_R (untuk koset kanan) sebagai:
a ~_R b jika dan hanya jika ab⁻¹ ∈ HHg.
Sifat yang sangat penting yang berasal dari relasi ekuivalensi adalah bahwa setiap dua koset kiri (atau koset kanan) dari H dalam G adalah sama atau saling lepas (disjoin). Artinya, jika aH dan bH adalah dua koset kiri dari H, maka salah satu dari dua kondisi ini berlaku:
aH = bHaH ∩ bH = ∅ (irisan kosong)aH dan bH memiliki setidaknya satu elemen yang sama, katakanlah c. Maka c ∈ aH dan c ∈ bH. Ini berarti c = ah₁ untuk beberapa h₁ ∈ H, dan c = bh₂ untuk beberapa h₂ ∈ H.
Dari sini, ah₁ = bh₂, yang berarti a = bh₂h₁⁻¹. Karena h₂, h₁ ∈ H dan H adalah subgrup, maka h₂h₁⁻¹ ∈ H. Mari kita sebut h₃ = h₂h₁⁻¹. Jadi, a = bh₃ dengan h₃ ∈ H.
Sekarang, kita ingin menunjukkan bahwa aH = bH.
Ambil sembarang elemen x ∈ aH. Maka x = ah untuk beberapa h ∈ H.
Substitusikan a = bh₃: x = (bh₃)h = b(h₃h). Karena h₃, h ∈ H, maka h₃h ∈ H. Jadi, x adalah elemen dari bH. Ini menunjukkan aH ⊆ bH.
Dengan argumen serupa (menggunakan b = ah₁h₂⁻¹), kita bisa menunjukkan bahwa bH ⊆ aH.
Oleh karena itu, aH = bH.
Sifat ini sangat penting karena ini berarti koset-koset membentuk partisi dari grup G. Artinya, G dapat ditulis sebagai gabungan disjoin dari semua koset kiri (atau kanan) yang berbeda dari H.
Gambar di atas secara visual merepresentasikan bagaimana grup G dipartisi menjadi koset-koset yang saling lepas dan secara kolektif mencakup seluruh elemen dalam G. Setiap koset memiliki "bentuk" dan "ukuran" yang sama dengan subgrup asalnya H, tetapi "posisinya" berbeda di dalam grup.
Jika H adalah subgrup dari G, maka semua koset kiri gH (dan semua koset kanan Hg) memiliki kardinalitas (jumlah elemen) yang sama dengan H. Ini berlaku untuk grup berhingga maupun tak berhingga.
Bukti Singkat: Untuk setiap g ∈ G, kita bisa mendefinisikan pemetaan (fungsi) f: H → gH oleh f(h) = gh.
f(h₁) = f(h₂). Maka gh₁ = gh₂. Dengan mengalikan g⁻¹ dari kiri di kedua sisi, kita dapatkan h₁ = h₂. Jadi, f adalah injektif.x ∈ gH, berdasarkan definisi koset, ada h ∈ H sedemikian rupa sehingga x = gh. Jadi, x = f(h). Ini menunjukkan bahwa f adalah surjektif.f adalah pemetaan bijektif (injektif dan surjektif), ini berarti terdapat korespondensi satu-satu antara elemen-elemen di H dan elemen-elemen di gH. Oleh karena itu, |H| = |gH|. Hal yang sama berlaku untuk koset kanan.
Sifat ini sangat penting karena akan menjadi kunci dalam pembuktian Teorema Lagrange.
gH = H Jika dan Hanya Jika g ∈ H
Sifat ini menunjukkan kapan suatu elemen g akan menghasilkan koset yang sama dengan subgrup itu sendiri.
g ∈ H, maka gH = H:
Jika g ∈ H, dan h ∈ H, maka karena H adalah subgrup (tertutup di bawah operasi grup), gh ∈ H. Jadi, gH ⊆ H.
Untuk menunjukkan H ⊆ gH, ambil sembarang h' ∈ H. Karena g ∈ H, maka g⁻¹ ∈ H. Maka g⁻¹h' ∈ H. Misalkan h'' = g⁻¹h'. Maka h' = gh'', yang berarti h' ∈ gH. Jadi, H ⊆ gH.
Karena gH ⊆ H dan H ⊆ gH, maka gH = H.
gH = H, maka g ∈ H:
Jika gH = H, dan kita tahu bahwa g = ge ∈ gH, maka haruslah g ∈ H (karena gH sama dengan H).
Hg = H jika dan hanya jika g ∈ H.
Dua koset kiri aH dan bH adalah sama jika dan hanya jika a⁻¹b ∈ H.
Bukti Singkat:
aH = bH, maka a⁻¹b ∈ H:
Jika aH = bH, maka b (sebagai be ∈ bH) juga harus ada di aH. Jadi, b = ah untuk beberapa h ∈ H. Maka, a⁻¹b = a⁻¹(ah) = (a⁻¹a)h = eh = h. Karena h ∈ H, maka a⁻¹b ∈ H.
a⁻¹b ∈ H, maka aH = bH:
Misalkan a⁻¹b = h₀ untuk beberapa h₀ ∈ H. Maka b = ah₀.
Untuk menunjukkan aH ⊆ bH: Ambil x ∈ aH. Maka x = ah untuk beberapa h ∈ H.
Kita bisa tulis x = (ah₀h₀⁻¹)h = b(h₀⁻¹h). Karena h₀, h ∈ H, maka h₀⁻¹h ∈ H. Jadi, x ∈ bH.
Untuk menunjukkan bH ⊆ aH: Ambil y ∈ bH. Maka y = bh' untuk beberapa h' ∈ H.
Kita bisa tulis y = (ah₀)h' = a(h₀h'). Karena h₀, h' ∈ H, maka h₀h' ∈ H. Jadi, y ∈ aH.
Oleh karena itu, aH = bH.
Ha = Hb jika dan hanya jika ab⁻¹ ∈ H.
Jumlah koset kiri yang berbeda dari H dalam G disebut indeks H dalam G, dan dinotasikan dengan [G:H].
Pentingnya adalah bahwa jumlah koset kiri yang berbeda selalu sama dengan jumlah koset kanan yang berbeda. Meskipun koset-koset kiri dan kanan individu mungkin tidak sama, total jumlahnya selalu sama.
Salah satu aplikasi paling penting dan terkenal dari konsep koset adalah dalam pembuktian Teorema Lagrange, yang merupakan teorema fundamental dalam teori grup berhingga. Teorema ini menghubungkan ukuran subgrup dengan ukuran grup yang lebih besar.
Misalkan G adalah grup berhingga dan H adalah subgrup dari G. Maka order (jumlah elemen) dari H membagi order dari G.
Secara matematis, jika |G| adalah order dari G dan |H| adalah order dari H, maka
|G| = [G:H] ⋅ |H|[G:H] adalah indeks dari H dalam G (yaitu, jumlah koset kiri atau kanan yang berbeda).
Pembuktian Teorema Lagrange sangat elegan dan secara langsung menggunakan sifat-sifat koset yang telah kita diskusikan:
k koset kiri yang berbeda, yaitu g₁H, g₂H, ..., g_kH. Maka,
G = g₁H ∪ g₂H ∪ ... ∪ g_kHg_iH ∩ g_jH = ∅ untuk i ≠ j.
g_iH memiliki kardinalitas yang sama dengan subgrup H itu sendiri. Artinya, |g_iH| = |H| untuk setiap i = 1, ..., k.
|G| = |g₁H| + |g₂H| + ... + |g_kH||g_iH| = |H|, maka
|G| = |H| + |H| + ... + |H| (sebanyak k kali)
|G| = k ⋅ |H|k adalah jumlah koset kiri yang berbeda, maka k = [G:H].
Jadi, |G| = [G:H] ⋅ |H|.
[G:H] adalah bilangan bulat, ini berarti |H| harus membagi |G|.
Teorema Lagrange memiliki beberapa akibat penting yang sangat berguna:
a ∈ G, maka order dari a (dinotasikan |a|, yaitu bilangan bulat positif terkecil n sedemikian rupa sehingga aⁿ = e) membagi |G|.
Pembuktian: Subgrup siklik yang dibangkitkan oleh a, yaitu <a> = {e, a, a², ..., a^(n-1)}, memiliki order n = |a|. Karena <a> adalah subgrup dari G, berdasarkan Teorema Lagrange, |<a>| membagi |G|. Jadi, |a| membagi |G|.
p, di mana p adalah bilangan prima, maka G adalah grup siklik.
Pembuktian: Ambil sembarang elemen a ∈ G yang bukan elemen identitas e. Maka order dari a, |a|, harus membagi |G| = p. Karena p adalah bilangan prima, satu-satunya pembagi positif dari p adalah 1 dan p. Karena a ≠ e, maka |a| ≠ 1. Jadi, |a| haruslah p. Ini berarti <a> memiliki order p, dan karena <a> adalah subgrup dari G dengan order yang sama dengan G, maka <a> = G. Oleh karena itu, G adalah grup siklik yang dibangkitkan oleh a.
n, maka untuk setiap a ∈ G, berlaku aⁿ = e.
Pembuktian: Kita tahu bahwa |a| membagi n. Misalkan n = k|a| untuk beberapa bilangan bulat k. Maka aⁿ = a^(k|a|) = (a^|a|)^k = e^k = e.
Ini adalah dasar dari Teorema Fermat Kecil dan Teorema Euler dalam teori bilangan.
Teorema Lagrange adalah salah satu teorema paling fundamental dalam teori grup karena memberikan wawasan yang kuat tentang struktur grup berhingga dan hubungan antara subgrup dan grup induknya. Tanpa pemahaman tentang koset, pembuktian dan pemahaman Teorema Lagrange akan jauh lebih sulit.
Dalam pembahasan kita tentang koset, kita telah melihat bahwa koset kiri dan koset kanan dapat berbeda dalam grup non-abelian. Kondisi di mana koset kiri dan koset kanan selalu identik untuk setiap elemen grup memunculkan konsep yang sangat penting: subgrup normal. Subgrup normal adalah kunci untuk membangun struktur aljabar baru yang disebut grup faktor.
Sebuah subgrup H dari grup G disebut subgrup normal (atau self-conjugate subgroup) jika untuk setiap g ∈ G, koset kiri gH sama dengan koset kanan Hg.
Secara formal, H adalah subgrup normal dari G jika gH = Hg untuk setiap g ∈ G. Notasi untuk subgrup normal adalah H ◁ G.
Ada beberapa kriteria ekuivalen untuk subgrup normal:
gH = Hg untuk semua g ∈ G. (Definisi)gHg⁻¹ = H untuk semua g ∈ G. (Ini berarti bahwa konjugasi H oleh elemen G akan menghasilkan H itu sendiri. gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}).g ∈ G dan h ∈ H, ghg⁻¹ ∈ H. (Ini adalah kondisi yang lebih lemah yang seringkali lebih mudah dibuktikan).gHg⁻¹ = H, maka mengalikan dengan g dari kanan akan memberikan gH = Hg. Sebaliknya, jika gH = Hg, maka untuk setiap h ∈ H, gh ∈ gH. Karena gH = Hg, maka gh ∈ Hg. Ini berarti gh = h'g untuk beberapa h' ∈ H. Mengalikan g⁻¹ dari kanan, kita dapatkan ghg⁻¹ = h', yang berarti ghg⁻¹ ∈ H. Jadi, kriteria 2 dan 3 ekuivalen.
{e} selalu merupakan subgrup normal, karena g{e} = {g} = {e}g. Grup G itu sendiri juga selalu merupakan subgrup normal dari G, karena gG = G = Gg.gh = hg untuk semua g ∈ G, h ∈ H. Ini secara langsung berarti gH = Hg, sehingga setiap subgrup dari grup abelian adalah subgrup normal. Contoh 3Z dalam Z adalah subgrup normal.A₃ = {e, (123), (132)} adalah subgrup normal dari S₃. |S₃| = 6, |A₃| = 3. Indeks [S₃:A₃] = 2.
Koset kirinya adalah A₃ dan (12)A₃ = {(12)e, (12)(123), (12)(132)} = {(12), (23), (13)}.
Koset kanannya adalah A₃ dan A₃(12) = {e(12), (123)(12), (132)(12)} = {(12), (13), (23)}.
Di sini, (12)A₃ = A₃(12). Anda bisa mencoba dengan elemen lain dan akan menemukan kesetaraan ini. Ini karena A₃ adalah subgrup dari indeks 2. Setiap subgrup dengan indeks 2 selalu normal.
Kita sudah melihat ini di contoh D₄ dan S₃.
H = {e, s} dari D₄ (grup dihidral orde 8) adalah non-normal. Kita menemukan bahwa rH = {r, rs} tetapi Hr = {r, sr}, dan rs ≠ sr.H = {e, (12)} dari S₃ (grup simetri orde 6) adalah non-normal. Kita menemukan bahwa (13)H = {(13), (132)} tetapi H(13) = {(13), (123)}, dan (132) ≠ (123).Subgrup normal adalah jembatan menuju konsep grup faktor (atau grup kuosien). Jika H adalah subgrup normal dari G, maka himpunan semua kosetnya dapat dilengkapi dengan operasi biner yang terdefinisi dengan baik untuk membentuk grup baru. Ini tidak mungkin dilakukan jika H bukan subgrup normal. Intinya adalah sifat "kelestarian" struktur, di mana operasi antar koset tidak bergantung pada pilihan representatif.
Konsep grup faktor adalah salah satu konstruksi terpenting dalam teori grup, dan keberadaannya secara mutlak bergantung pada gagasan subgrup normal dan koset. Jika H adalah subgrup normal dari G, maka kita dapat mendefinisikan grup baru yang elemen-elemennya adalah koset-koset dari H.
Misalkan G adalah grup dan H ◁ G adalah subgrup normal dari G. Himpunan semua koset kiri (yang sama dengan koset kanan karena H normal) dari H dalam G dinotasikan sebagai G/H.
G/H = {gH | g ∈ G}G/H sebagai berikut:
Untuk setiap aH, bH ∈ G/H, didefinisikan
(aH)(bH) = (ab)HaH = a'H dan bH = b'H, maka kita harus memiliki (ab)H = (a'b')H.
Ini adalah tempat di mana sifat subgrup normal menjadi krusial.
Pembuktian bahwa operasi terdefinisi dengan baik:
Asumsikan aH = a'H dan bH = b'H.
Dari sifat koset, a⁻¹a' ∈ H dan b⁻¹b' ∈ H. Jadi, a' = ah₁ dan b' = bh₂ untuk beberapa h₁, h₂ ∈ H.
Sekarang, kita periksa (a'b')H:
(a'b')H = (ah₁bh₂)Hh₁b ∈ bH dan karena bH = Hb, maka h₁b = bh₃ untuk beberapa h₃ ∈ H (dari bh₃ = h₁b maka b⁻¹h₁b = h₃ ∈ H).
Jadi,
(a'b')H = (abh₃h₂)Hh₃, h₂ ∈ H dan H adalah subgrup, maka h₃h₂ ∈ H.
Dengan menggunakan sifat koset gH = H jika g ∈ H, maka (abh₃h₂)H = (ab)H karena h₃h₂ adalah elemen di H yang tidak mengubah koset.
Oleh karena itu, operasi (aH)(bH) = (ab)H terdefinisi dengan baik. Tanpa H menjadi subgrup normal, langkah h₁b = bh₃ tidak dapat dijamin, dan operasi akan bergantung pada pilihan representatif, sehingga tidak terdefinisi dengan baik.
G/H Adalah Grup
Setelah kita membuktikan operasi terdefinisi dengan baik, kita harus membuktikan bahwa G/H dengan operasi yang baru didefinisikan ini memang membentuk grup.
aH, bH ∈ G/H, (aH)(bH) = (ab)H. Karena a, b ∈ G dan G adalah grup, ab ∈ G. Oleh karena itu, (ab)H ∈ G/H. Operasi tertutup.aH, bH, cH ∈ G/H:
((aH)(bH))(cH) = (abH)(cH) = ((ab)c)H
(aH)((bH)(cH)) = (aH)(bcH) = (a(bc))H(ab)c = a(bc), maka ((ab)c)H = (a(bc))H. Jadi, operasi pada G/H adalah asosiatif.
G/H adalah koset eH = H (karena e adalah identitas di G).
Untuk sembarang aH ∈ G/H:
(aH)(eH) = (ae)H = aH
(eH)(aH) = (ea)H = aHH adalah elemen identitas.
aH ∈ G/H, inversnya adalah a⁻¹H (karena a⁻¹ adalah invers dari a di G).
(aH)(a⁻¹H) = (aa⁻¹)H = eH = H
(a⁻¹H)(aH) = (a⁻¹a)H = eH = HG/H memiliki invers.
G/H adalah sebuah grup. Grup ini disebut grup faktor atau grup kuosien dari G oleh H.
Jika G adalah grup berhingga, maka order dari grup faktor G/H adalah jumlah koset yang berbeda, yaitu indeks dari H dalam G.
|G/H| = [G:H] = |G| / |H|
Grup faktor memiliki hubungan yang erat dengan homomorfisme grup. Untuk setiap subgrup normal H dari G, ada homomorfisme alami (disebut homomorfisme kanonik atau proyeksi) φ: G → G/H yang didefinisikan oleh φ(g) = gH.
φ(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = φ(a)φ(b)gH ∈ G/H adalah citra dari g ∈ G.G/H (yaitu, H).
Ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) = H} = {g ∈ G | gH = H}gH = H jika dan hanya jika g ∈ H. Jadi, Ker(φ) = H.
φ: G → G' adalah homomorfisme grup surjektif, maka G/Ker(φ) isomorfik dengan G'. Ini adalah salah satu teorema paling penting dalam teori grup dan menunjukkan mengapa subgrup normal dan grup faktor sangat fundamental.
Konsep koset, meskipun abstrak, memiliki aplikasi yang luas dan signifikan di berbagai cabang matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Kemampuannya untuk mempartisi grup dan memungkinkan konstruksi grup faktor menjadikannya alat yang sangat berharga.
Dalam teori pengkodean, koset digunakan dalam skema deteksi dan koreksi kesalahan, terutama pada kode linear.
F_2^n), ruang pesan F_2^n dipartisi menjadi koset-koset C. Setiap koset x+C (karena F_2^n adalah grup abelian di bawah penjumlahan vektor) disebut koset kode.
Sindrom s(y) dari vektor yang diterima y adalah yH^T (di mana H^T adalah transpos matriks paritas). Semua vektor dalam koset yang sama memiliki sindrom yang sama.
y cocok dengan sindrom pemimpin koset e, maka kesalahan yang paling mungkin adalah e, dan pesan yang dikodekan asli diperkirakan adalah y - e. Ini sangat efisien untuk mengidentifikasi dan mengoreksi kesalahan tunggal atau sedikit kesalahan.Meskipun tidak selalu secara langsung menggunakan istilah "koset" dalam algoritma utama, banyak skema kriptografi modern sangat bergantung pada struktur grup abstrak, di mana konsep koset dapat muncul secara implisit. Misalnya, dalam kriptografi berbasis eliptik-kurva atau sistem RSA, operasi dilakukan pada grup besar. Pemahaman tentang koset dan grup faktor membantu dalam memahami struktur subgrup, keamanan, dan kemungkinan serangan terhadap sistem tersebut. Salah satu contoh penggunaan koset adalah dalam Homomorphic Encryption di mana operasi pada ciphertext mencerminkan operasi pada plaintext, dan ini sering melibatkan grup faktor.
Grup simetri memainkan peran penting dalam fisika dan kimia, menggambarkan simetri molekul, kristal, dan partikel elementer.
Contoh awal kita tentang Z dan 3Z adalah inti dari aritmatika modular. Himpunan Z_n = Z/nZ adalah grup faktor dari bilangan bulat Z oleh subgrup normal nZ (kelipatan n). Elemen-elemen dari Z_n adalah koset-koset [0], [1], ..., [n-1], yang merepresentasikan kelas-kelas ekuivalensi dari bilangan bulat modulo n. Operasi penjumlahan modulo n adalah operasi grup pada koset-koset ini.
Kita telah memperkenalkan istilah indeks subgrup, [G:H], sebagai jumlah koset kiri (atau kanan) yang berbeda dari subgrup H dalam grup G. Konsep ini adalah ukuran penting tentang "seberapa besar" H relatif terhadap G, atau berapa banyak "salinan" H yang dibutuhkan untuk "meliputi" G.
Secara formal, jika H adalah subgrup dari grup G, indeks [G:H] adalah kardinalitas dari himpunan semua koset kiri dari H dalam G. Karena ada bijeksi antara himpunan koset kiri dan himpunan koset kanan, indeksnya sama, terlepas dari apakah kita menggunakan koset kiri atau kanan.
[G:H] = |G/H|[G:H] = |G| / |H|.
Jika G adalah grup tak berhingga, indeksnya bisa berhingga atau tak berhingga. Contoh Z dan 3Z memiliki indeks 3, meskipun keduanya tak berhingga.
Salah satu teorema penting yang melibatkan indeks adalah Teorema Indeks atau Hukum Menara Indeks.
Jika K adalah subgrup dari H, dan H adalah subgrup dari G (yaitu K ≤ H ≤ G), maka:
[G:K] = [G:H] ⋅ [H:K][G:K] = |G|/|K|
[G:H] = |G|/|H|
[H:K] = |H|/|K|(|G|/|H|) ⋅ (|H|/|K|) = |G|/|K|.
Pembuktian untuk grup tak berhingga lebih kompleks dan memerlukan konstruksi bijeksi antara koset-koset. Namun, intinya tetap sama: indeks bersifat multiplikatif.
Indeks digunakan untuk:
Sepanjang diskusi ini, kita telah menekankan bahwa koset kiri dan koset kanan dapat berbeda dalam grup non-abelian. Mari kita tinjau kembali perbedaan ini dan implikasinya.
Koset kiri gH akan selalu sama dengan koset kanan Hg untuk semua g ∈ G jika dan hanya jika H adalah subgrup normal dari G. Ini adalah definisi inti dari subgrup normal.
Dalam grup abelian, semua subgrup adalah normal, jadi semua koset kiri selalu sama dengan koset kanan yang sesuai.
Jika ada setidaknya satu elemen g ∈ G sedemikian rupa sehingga gH ≠ Hg, maka H bukan subgrup normal. Dalam kasus seperti itu, meskipun himpunan koset kiri dan himpunan koset kanan akan memiliki kardinalitas yang sama ([G:H]), koset individu gH dan Hg mungkin berisi elemen-elemen yang berbeda.
Contoh dari D₄ dan S₃ dengan subgrup H = {e, s} dan H = {e, (12)} dengan jelas menunjukkan situasi ini.
Untuk D₄ dengan H = {e, s} dan g = r:
rH = {r, rs}
Hr = {r, sr}rs = sr³ ≠ sr, maka rH ≠ Hr.
Perbedaan antara koset kiri dan kanan memiliki implikasi yang mendalam:
G/H seperti yang kita lakukan sebelumnya. Ini berarti G/H tidak akan membentuk grup faktor. Operasi (aH)(bH) = (ab)H akan bergantung pada pilihan representatif a dan b, melanggar definisi grup.Koset adalah salah satu konsep yang paling mendasar namun kuat dalam teori grup. Dari definisi sederhana sebagai "penggeseran" subgrup, koset mengungkapkan struktur internal grup yang kompleks dan memungkinkan kita untuk memahami bagaimana elemen-elemen grup dikelompokkan dan berinteraksi dalam kaitannya dengan subgrup. Pemahaman yang mendalam tentang koset adalah prasyarat untuk menguasai banyak topik lanjutan dalam aljabar abstrak.
Kita telah mengidentifikasi koset kiri dan kanan, memberikan contoh-contoh konkret yang membedakan perilaku mereka di grup abelian dan non-abelian. Sifat-sifat kunci koset—termasuk fakta bahwa mereka mempartisi grup menjadi himpunan-himpunan yang disjoin dan berukuran sama—menjadi dasar fundamental bagi Teorema Lagrange. Teorema ini, pada gilirannya, mengungkap hubungan krusial antara order subgrup dan order grup induk, serta memiliki konsekuensi penting bagi sifat-sifat grup berhingga, seperti pernyataan bahwa order setiap elemen harus membagi order grup.
Lebih lanjut, konsep koset secara langsung mengarah pada definisi subgrup normal, di mana koset kiri dan kanan identik. Subgrup normal ini sangat penting karena memungkinkan konstruksi grup faktor (atau grup kuosien), yaitu grup baru yang elemen-elemennya adalah koset-koset itu sendiri. Grup faktor adalah alat yang tak ternilai untuk menyederhanakan struktur grup yang kompleks dan merupakan inti dari Teorema Isomorfisme Pertama, yang menghubungkan homomorfisme grup dengan struktur grup faktor.
Beyond matematika murni, aplikasi koset merentang ke berbagai disiplin ilmu, dari teori pengkodean yang memungkinkan komunikasi digital yang handal, hingga kriptografi yang menjaga keamanan informasi, dan teori simetri dalam fisika dan kimia yang menjelaskan struktur molekul dan materi. Ini menunjukkan bahwa meskipun koset mungkin tampak sebagai konsep abstrak, dampaknya sangat nyata dan relevan dalam berbagai aplikasi ilmiah dan teknologi.
Singkatnya, koset bukan sekadar definisi matematis; mereka adalah lensa yang kuat untuk mengamati dan memahami simetri, struktur, dan hubungan dalam sistem aljabar. Perannya sebagai fondasi bagi Teorema Lagrange dan grup faktor menegaskan kedudukannya sebagai salah satu ide paling esensial dan transformatif dalam aljabar modern. Menguasai koset adalah langkah esensial dalam perjalanan eksplorasi dunia aljabar abstrak yang kaya dan menakjubkan.